角の三等分問題　ミトブ法と正九角形の作図（教材作家）

＜第２回＞角の三等分問題　ミトブ法と正九角形の作図

　今回は、定規とコンパスという二つの教材を使った角の三等分技法についてお話しします。
　その技法の名前は「三武（MITOBU）」。

　ミトブ（三武）の名前は、「三つの的（まと）を一本の矢で貫き通す武芸」という作図法のイメージから付けた教材用語です。

　ミトブは、ギリシアの三大作図問題の一つである「角の三等分問題」をヒントにして製作した、子供たちが定規とコンパスをゲーム感覚で楽しみながら上手に使えるようになるための教材です。

　全体の内容は２部に分かれます。

　第１部・・・定規とコンパスによる角の三等分技法「ミトブ法」について
　①ミトブ法について　　②第１象限のミトブ（基本のミトブ：学習用）　　③ミトブ法で角の三等分ができる理由
 　④スーパーミトブ（基本のミトブ：競技用）　　⑤第２象限のミトブ　　⑥第３象限のミトブ　　⑦第４象限のミトブ
 　⑧三武法段級位認定　　⑨教材ゲーム「ミトブ」　　⑩教材ゲーム「宇宙砲ミトブ」

　第２部・・・正九角形の作図や、分度器の作図、Ａ４用紙など書類の三つ折り法について
　①正九角形の作図　　②分度器の作図　　③書類の三つ折り法「ツケヒキ法」

■ミトブ法について
　ミトブ法（三武法）を練習すると、数学の授業で学習する「基本の作図」（垂線・平行線の作図、角の移動など）を楽しく身に付けることができます。そして定規とコンパスを使って正九角形の作図ができ、さらに半円の１８０等分が可能となるので、定規とコンパスを使って分度器を作図することもできます。

　まず、斜辺上の好きな位置に、コンパスを使って基準点を付けます。コンパスの幅は、三等分したい頂角と基準点の距離に開きます。

　「一の的」
　頂角にあります。

　「二の的」
　基準点から、底辺に下ろした垂線上にあります。

　「三の的」
　基準点から伸びた、底辺に対する平行線上にあります。

　「二の的」（競技用ミトブ）
　ミトブ法には学習用と競技用があり、競技用ミトブの「二の的」は、コンパスの幅を変えずに基準点を軸として描いた弧の上にあります。

　１０段階の学習用ミトブでは、「二の的」と「三の的」との間の距離は、頂角から基準点までの距離の２倍です。

　７段階の競技用ミトブでは、「二の的」と「三の的」との間の距離は、頂角から基準点までの距離と同じです。

　３つの的の位置が定規によって一直線上に並んだら、コンパスの芯を頂角に当て、定規に沿って直線を引いて完成です。

　三武法では三つの的に照準を定めますが、第１の的は角の頂点、第２、第３の的はコンパスの両端と定規を使って位置を決定しました。
　それでは矢は本当に、三つの的に当たったと言えるのでしょうか。第１の的は見えますが、第２、第３の的は目に見えないからです。
　もし基準点から引かれた垂線や平行線が傾いていたら、そしてもしコンパスの幅が正しくなかったら、矢は第２、第３の的から外れてしまいます。

　ミトブ（三武）は成功したのか、それとも失敗したのか、その判定には分度器を使います。
　判定者は、分度器で最初の角度を測ります。それが６０°であれば、「基準角（きじゅんかく）６０度」と言います。
　次に判定者は、ミトブ（三武）を行った人が三つの的に照準を定めて引いた線の角度を測ります。それが２０°であれば、「照準角（しょうじゅんかく）２０度」と言います。

　ミトブ（三武）が正しく行われると、照準角は基準角の３分の１になります。
　ミトブは角の３等分ができるのです。

■第１象限のミトブ（基本のミトブ：学習用）

　第１象限（０°～９０°）の角の三等分技法です。
　第１象限のミトブを「基本のミトブ」と言います。基本のミトブには１０段階の「学習用」と７段階の「競技用」があります。
　学習用ミトブは、次の１０段階です。

　① コンパスを好きな幅に開き、コンパスの針を３等分したい角の頂点に当てて円を書きます。これを第１の円とします。

　② 第１の円と斜辺との交点を基準点とし、コンパスの針を基準点に当てて円を書きます。これを第２の円とします。

　③ 第２の円と底辺との交点（右側）にコンパスの針を当てて第３の円を書きます。このとき第１の円と第３の円との２つの交点を結ぶと、底辺に垂直な線が書けます。

　④ 第３の円と底辺との交点（右側）にコンパスの針を当て、斜辺と底辺との間で第２の円と交差する位置に印を付けます。この印と基準点を結ぶと、底辺に平行な線が書けます。（図の４点を結ぶと平行四辺形が書けます）

　⑤ 基準点から底辺に対する垂線を書きます。

　⑥ 基準点から底辺に対する平行線を書きます。

　⑦ コンパスの幅を第３の円と底辺（または第２の円と斜辺）との２つの交点の幅に開きます。円の半径になっているコンパスの幅を、円の直径に合わせるのです。ここでコンパスの幅は２倍になりました。

　⑧ コンパスの芯を垂線上に当て、コンパスの針を平行線上に当てます。ミトブ法が正確に行われると、垂線上のコンパスの芯は第２の的（まと）の位置を示し、平行線上のコンパスの針は第３の的の位置を示します。

　⑨ 第１の的である頂角に定規を当て、その点を軸として定規を動かします。そして第２第３の的の位置を指し示すコンパスの両端が、定規によって第１の的と同じ直線上に来るように照準を合わせます。そのときコンパスの両端は、それぞれ垂線と平行線から離れないようにします。

　⑩ ３つの的の位置が決ったら、コンパスの芯を頂角に当て、定規に沿って線を引いて完成です。

　「基本のミトブ（１０段階）」を練習すると、数学の教科書で「基本の作図」とされるもののうち、「垂線の作図」と「平行線の作図」が正確にできるようになります。

■ ミトブ法で角の三等分ができる理由

　基本のミトブ（１０段階）では、コンパスの幅を途中で２倍に変えました。そこに角の三等分ができるポイントがあります。最初のコンパスの幅を「１」の線、それを２倍した次のコンパスの幅を「２」の線で表してみます。
　ミトブ法が完成した形を見ると、垂線と平行線と「２」の線によって直角三角形ができていることがわかります。

　直角から「２」の線に向けて「１」の線を引いたときに、「１」の線は「２」の線の中心に到達します。なぜならこの点を中心として、直角三角形が内接する半径「１」の円を書くことができるからです。直角三角形の底辺の両端を円周上で結ぶ弧を見ると、その中心角と円周角との比は２対１です。それぞれの角を「２の角」「１の角」とします。

　ミトブ法が完成した形を見ると、「２の角」は二等辺三角形の底角で基準角の一部と等しく、基準角の残りの部分は錯角になっている「１の角」と等しいことがわかります。こうして基準角が２対１に区分できることになり、大きさ１の角は基準角の３分の１になるので、角の三等分ができます。大きさ２の角が二等分できることはすでにわかっているからです。

※参考文献（数式を使った証明について）
・矢野健太郎「モノグラフ数学史」科学新興新社
・矢野健太郎「角の三等分」ちくま学芸文庫　

■ スーパーミトブ（基本のミトブ：競技用）

　基本のミトブには、先にお話した１０段階の学習用ミトブと、手順を簡略化した７段階の競技用ミトブがあります。７段階の競技用ミトブを「スーパーミトブ」と呼びます。
　これは垂線と平行線と「２」の線によってできる直角三角形の外接円の中心が、第２の円の円周上に必ず来るという性質を利用した作図法です。
　この直角三角形の外接円の中心に第２の的（まと）を置くと、そこから平行線上の第３の的までの距離は「１」になります。

　この方法によると、垂線の作図やコンパスの幅を２倍にする手順を省略できるので、作図が早くなります。
　スーパーミトブの７段階の手順は次の通りです。

　手順１～３は角の２等分の作図と同じです。手順３では、基準点を軸として長めに弧を描きます。手順２と３で描いた弧の交点と角の頂点を結ぶと角が２等分されます。角の３等分では、手順４で交点と基準点を結び、底辺に対する平行線を書きます。

　手順５：　定規を角の頂点に当て、コンパスの両端を定規の縁に当てます。そのときコンパスの芯は、手順３で描いた弧に一致するようにします。
　手順６：　コンパスの針が平行線に到達するまで定規を動かします。その結果、角の頂点と弧と平行線上の３つの的が同じ直線上に並び、照準を合わせることができます。
　手順７：　３つの的の位置が決ったら、コンパスの芯を頂角に当て、定規に沿って線を引いて完成です。

　スーパーミトブの手順は７段階で済み、しかもコンパスの幅を変えることもないため作図が早く簡単になります。　
　しかし、「垂線の作図が含まれない」「なぜ角が三等分できるのか理由がわかりにくい」という欠点があります。
　そのため、初めのうちは学習用として１０段階のミトブを練習し、その後で競技用としての７段階のミトブ（スーパーミトブ）を行ってください。

　以下の第２象限から第４象限のミトブについては、基本のミトブを１０段階の学習用ミトブによって説明しています。

■ 第２象限のミトブ

　第２象限（９０°～１８０°）の角の三等分技法です。

　① コンパスを好きな幅に開き、コンパスの針を３等分したい角の頂点に当てて円を書きます。これを第１の円とします。

　② 第１の円と斜辺との交点にコンパスの針を当て、斜辺と底辺の間で弧を描きます。

　③ 第１の円と底辺との交点にコンパスの針を当て、斜辺と底辺の間で弧を描きます。

　④ ステップ②と③で描いた弧の交点を通る線を、頂角を起点として書きます。この線は第２象限の角を２等分する線で、第１象限上にあります。

　⑤～⑬　ステップ①～④で書かれた線に対して「基本のミトブ」を行います。基本のミトブの第１段階は①で行っているので、残りの第２段階から第１０段階を行います。

　⑭ 頂点を中心として弧を描き、基本のミトブによって書いた線と、底辺との２つの交点にコンパスの芯と針が当たるようにコンパスの幅を調整します。

　⑮ 基本のミトブによって書いた線と弧の交点にコンパスの針を当て、⑭で描いた弧と交わるように弧を描きます。２つの弧の交点は、ミトブによって書いた線の２倍の角度を示す点です。頂角を中心として同じ形の二等辺三角形が２つできることからそれがわかります。

　⑯ ⑮で書いた交点と角の頂点に定規を当て、コンパスの芯を使って定規に沿って線を引いて完成です。

　第２象限のミトブは、基本のミトブの１０段階と合わせて１６の段階から構成されます。
　はじめに第２象限の角に対して「角の２等分」を行って、第１象限の角にします。次にその第１象限の角に対して「基本のミトブ」を行います。そして最後に「角の移動」を行って基本のミトブで求めた角を２倍します。こうして第２象限の角を３分の１にすることができました。
　第２象限のミトブを練習すると、数学の教科書で「基本の作図」とされるもののうち、「垂線の作図」「平行線の作図」「角の二等分」「角の移動」が正確にできるようになります。

■第３象限のミトブ

　第３象限（１８０°～２７０°）の角の三等分技法です。

　① コンパスを好きな幅に開き、コンパスの針を３等分したい角の頂点に当てて円を書きます。これを第１の円とします。

　② 頂角を原点として、第３象限にある斜線を第１象限上に延長して書きます。

　③～⑪　ステップ①～②で書かれた線に対して「基本のミトブ」を行います。基本のミトブの第１段階は①で行っているので、残りの第２段階から第１０段階を行います。

　⑫ 角の頂点にコンパスの針を当て、第２象限の方向から、基本のミトブで書いた線と交差するように弧を描きます。

　⑬ ⑫の交点にコンパスの針を当て、その弧と交差するように新たに弧を描きます。こうして基本のミトブによって書いた線の角度に、１８０°の３分の１である６０°を加えることができました。これは線の上に正三角形を書く要領と同じです。

　⑭ ステップ⑫～⑬で描いた弧の交点と角の頂点に定規を当て、コンパスの芯を使って定規に沿って線を引いて完成です。

　第３象限のミトブは、基本のミトブの１０段階と合わせて１４の段階から構成されます。
　はじめに第３象限の角から１８０°をマイナスして、第１象限の角にします。次にその第１象限の角に対して「基本のミトブ」を行います。そして最後に正三角形を書く要領で１８０°の３分の１である６０°をプラスします。こうして第３象限の角を３分の１にすることができました。

■ 第４象限のミトブ

　第４象限（２７０°～３６０°）の角の三等分技法です。

　① コンパスを好きな幅に開き、コンパスの針を３等分したい角の頂点に当てて円を書きます。これを第１の円とします。

　② 角の頂点から左へ横軸を延長して書きます。

　③ 横軸と円の交点の一つにコンパスの針を当て、横軸の上で円と交わるように印をつけます。

　④ 横軸と円のもう一つの交点についても同じようにします。（③④の交点は、それぞれ正三角形の２つの頂点を書く要領と同じです）

　⑤ ③の交点にコンパスの針を当て、円の上側に弧を描きます。

　⑥ ④の交点についても同じようにします。

　⑦ ⑤⑥で描いた弧の交点と角の頂点を結ぶと座標の縦軸を書くことができます。（③～⑦はコンパスの幅を変えずに垂線を書くための手順です）

　⑧ 頂角を原点として、第４象限にある斜線を第２象限上に延長して書きます。

　⑨ 座標全体を右へ９０°回転させ、９０°の位置が０°の位置に来るようにします。

　⑩～⑲　ステップ①～⑨で書かれた線に対して「基本のミトブ」を行います。基本のミトブの第１段階は①で行っているので、残りの第２段階から第１０段階を行います。

　⑳座標全体を左へ９０°戻して完成です。

　角の三等分の判定は、照準角を表す２つの線と第１の円との交点の幅にコンパスを開いて、その３倍が基準角になっているかどうかで確かめることもできます。

　第４象限のミトブは、基本のミトブの１０段階と合わせて２０の段階から構成されます。はじめに横軸と縦軸の座標を書き、次に第４象限にある斜線を原点から第２象限上に延長して書きます。これは１８０°のマイナスであると同時に、基準角から２７０°をマイナスした後、その３分の１である９０°をプラスしたことにもなります。次に座標全体を右へ９０°回転させ、９０°の位置が０°の位置に来るようにします。そしてその角に対して「基本のミトブ」を行います。最後に座標全体を左へ９０°戻して完成です。

　作図の手順が多い順に並べると、一番多いのが「第４象限のミトブ」で２０段階、次に多いのが「第２象限のミトブ」で１６段階、それから「第３象限のミトブ」で１４段階、最も少ないのが「第１象限のミトブ（基本のミトブ）」で１０段階となります。基本のミトブを、７段階のスーパーミトブによって行う場合は、それぞれの手順が３段階ずつ少なくなります。

■ミトブを使った教材ゲーム

＜１＞三武法段級位認定（４級～５段）

　ミトブを時間内で終了し、分度器を使って判定を行います。
　電卓やそろばん、または筆算で基準角を３で割り、その数値からミトブによる照準角を引いて誤差を調べます。
　誤差は２度未満（＋－１．６６度）まで正解（当たり）とします。

　ミトブを正解した時間に応じて、４級から５段の実力があると自己判定できます。
　第１象限のミトブから第４象限のミトブまで、１分以内で終える毎に、４級から１級まで昇級します。
　第１象限のミトブから第４象限のミトブまでの全てを、３分以内で終えると初段の実力があります。
　そして３分から３０秒早まる毎に１段ずつ昇段し、１分以内で全てのミトブを終えると、三武法五段の実力があるものとします。

【ミトブ法解答用紙（サンプル）】・・・角度はそれぞれの象限内で自由に決めます。

　ミトブを行う時の手順は自由です。総合のミトブでは複数のミトブを手順毎に同時進行させてもＯＫです。
　完成までにかかった時間で段級位がわかります。次の例を参考にしてください。

　第１象限のミトブ　３５秒　→　４級（１分以内）
　第２象限のミトブ　５８秒　→　３級（１分以内）
　第３象限のミトブ　４５秒　→　２級（１分以内）
　第４象限のミトブ　５０秒　→　１級（１分以内）
　ミトブ総合　　２分５９秒　→　初段（３分以内）
　ミトブ総合　　２分２９秒　→　２段（２分３０秒以内）
　ミトブ総合　　１分５９秒　→　３段（２分以内）
　ミトブ総合　　１分２９秒　→　４段（１分３０秒以内）
　ミトブ総合　　０分５９秒　→　５段（１分以内）

　主審と副審を置く場合は、副審が分度器を持って角度を測り、主審が電卓などで計算して判定します。
　たとえば次のようにします。

　副審「第２象限のミトブ。基準角　１２４度。照準角　４３度」
　主審「当たりです」（１２４÷３＝４１．３３　４１．３３－４３＝－１．６６）

　副審「第４象限のミトブ。基準角　３１６度。照準角　１０７．５度」
　主審「誤差　２.１７度。はずれです」（３１６÷３＝１０５．３３　１０５．３３－１０７．５＝－２．１７）

　誤差２度未満・・・　「当たりです」　と言います。
　誤差２度以上・・・　「誤差○度。はずれです」　と、２度以上の誤差の数値を先に言います。

＜２＞教材ゲーム「ミトブ」

　ミトブを２人以上で対戦するゲームです。同じ基準角の線が書かれた紙に、数人がそれぞれミトブを実行します。
　１人が完了し、「できました」と言って手を挙げると、他の人も定規とコンパスを置かなければなりません。
　分度器と電卓などを使って、基準角の３分の１と、書かれた照準角との誤差を求めます（誤差２度未満で正解とします）。
　点数は第１象限のミトブ正解で１０点、第２象限のミトブは２０点、第３象限のミトブは３０点、第４象限ミトブは４０点とし、１００点満点です。
　ミトブを行う時の手順は自由です。複数のミトブを同時に行ってもＯＫです。
　手を挙げてゲームを止めた人と他の人が同じ得点である場合は、他の人が勝ちになります。

＜３＞教材ゲーム「宇宙砲ミトブ」

　「宇宙砲ミトブ」は、子供たちが定規とコンパスに親しむためのゲームです。誰でも楽しめるように、標的の大きさを自由に変えることができます。
　「宇宙砲ミトブ」は、地球に迫って来る巨大隕石を、地球防衛軍の一員であるプレーヤーがミトブ砲で攻撃破壊するというゲームです。

　紙を用意し、下に基準角をあらわす底辺と斜辺を書きます。これは、レーダーに映った隕石の方角の３倍の角度を示す影です。
　下に書かれた基準角の３分の１を分度器を使って求め、その角度を延長した位置（紙の上方）に隕石を書きます。隕石を大きめに書くほど、ミトブ砲が命中しやすくなります。
　隕石はプレーヤーから見えないようにします（上方を折り曲げるなど）。

　プレーヤーはミトブを実行し、基準角に対して３分の１となる照準角を示す線を書き、ミトブ砲を発射します。
　判定者は隕石が見えるようにし、長めの定規を使ってプレーヤーが書いた線を延長して、ミトブ砲が隕石に当たったかどうかを判定します。
　子供の作図能力に応じて、隕石を大きくしたり、小さくしたりしてください。

■正九角形の作図

　物語「教材作家」第１３話では、コスモ定規という特殊な定規を使った角の三等分と正九角形の作図法をご紹介しました。
　ここでは定規とコンパスを使ったミトブ法による正九角形の書き方についてお話しします。

　円を書きます。ここで書かれた円の大きさは、正九角形の外接円の大きさになります。

　円の中心に定規を当て、下側の交点に印を付け、円の中心から上へ線を引きます。

　円の下側の印にコンパスの針を当て、弧を描く要領で円との２つの交点に印を付けます。（この２点と上側の交点を結ぶと正三角形が書けます）

　円の上側の印にコンパスの針を当て、弧を描く要領で円との右側の交点に印を付けます。
　そして円の左下と右上の点に定規を当て、中心から右上へ線を書きます。書かれた２つの線の角度は６０°になります。

　円の中心から右上へ書かれた線が水平になるように図を動かします。（図が書かれた紙を３０°右へ回します）

　２つの線が成す角の三等分線を作図するために「基本のミトブ」を行います。（上記は７段階のスーパーミトブによる作図です）

　基本のミトブで書かれた照準線（角の三等分線）は、６０°を２０°と４０°に分ける位置にあります。ここで図の位置を戻します。（図が書かれた紙を３０°左へ回します）

　コンパスの針を円の一番上に合わせます。そして照準線と円の交点にコンパスの芯を当てます。この２点を結ぶ線は、正九角形の一辺の長さになります。
　なぜならこの２点を円の中心と結んで二等辺三角形を作ると頂角は４０°になり、４０°は９倍すると３６０°になるからです。その位置で１つめの円を書きます。

　円の下側に書かれた２点（正三角形を構成する）にも、順にコンパスの針を当て、２つめと３つめの円を書きます。

　円周上の９点（円と３つの小さな円との交点。そして３つの円の中心点）を線で結ぶと、正九角形や星形正九角形になります。

■分度器の作図

　次に、定規とコンパスを使ったミトブ法による分度器の書き方についてお話しします。

　分度器の形である半円形を書き,中央に９０度を示す垂線を書きます。
　半円はできるだけ大きく書いたほうが作図しやすくなります。

　正六角形の作図法を使って６０度（３６０°÷　６）に印を付け、
　６０度を２等分して３０度、さらに２等分して１５度に印を付けます。

　次に黄金直角三角形を作り、

　正五角形の作図法を使って７２度（３６０°÷　５）に印を付けます。

　７２度を２等分して３６度に印を付け、直角を２等分して４５度に印を付けます。
　コンパスの幅を、４５度と３６度の幅９度に開きます。

　９度の幅で、１５度を軸に、２４度と６度に印を付けます。
　さらに２４度を軸に、３３度に印を付けます。
　そして、半円の中心から２４度の印を結ぶ線を書きます。

　２４度を基準角としてミトブ法を実行し、その３分の１である照準角の８度に印を付けます。

　コンパスの幅を、３６度と３３度の幅３度に開きます。
　３度の幅で、０度を軸に、３度に印を付けます。

　コンパスの幅を、８度と６度の幅２度に開きます。
　２度の幅で、３度を軸に、１度に印を付けます。

　２度の幅で、０度を軸に２度に印を付け、２度を軸に４度、８度を軸に１０度、１０度を軸に１２度、１２度を軸に・・・と、偶数の目盛りを付けて行きます。

　２度の幅で、３度を軸に５度に印を付け、５度を軸に７度、７度を軸に９度、９度を軸に１１度、１１度を軸に・・・と、奇数の目盛りを付けて行きます。
　最後に５度間隔、１０度間隔で目盛りを長めにするなど形を整えて完成です。

　角度を調べる場合は、作図した分度器上に角の移動を行います。

　分度器の中心と、作図による交点に定規の縁を当て、分度器の目盛りを読んで角度を調べます。

　直線定規や三角定規の目盛りと、分度器の目盛りは、見掛けは良く似ていますが、手作りできるのは分度器の目盛りの方です。
　定規の目盛りは、国際的に定められたメートルという単位（1秒の299792458分の1時間に光が真空中を伝わる行程の長さ）を基に付けられているので自作はほとんど不可能だと言えるでしょう。
　分度器は、定規とコンパス、または直線が書ける板と、コンパスの代わりになる糸と鉛筆などがあれば手作りできる教材だと言うことができます。

■ 書類の三つ折り法「ツケヒキ法」

　「角の三等分」に関連して、「紙の三等分」についてもお話ししましょう。
　手紙やＡ４サイズの書類などを、簡単できれいに三つ折りするための実用的な方法です。